|
MENERAPKAN KONSEP M A T R I K S
1. Pengertian Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.
Jenis Kelamin
Kelas Putra Putri Jumlah
II Ak 1 28 15 43
II Ak 2 32 10 42
Jumlah 60 25 85
Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.
Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .
Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.
Contoh :
A =
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis atau .
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.
2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.
Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B
Contoh :
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu
Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.
2. Macam-Macam Matriks
1. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A =
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
Contoh : A =
3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah
baris = jumlah kolom
Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom
4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis
dengan huruf O.
Contoh : =
5. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau
diatas diagonal utama semuanya 0 .
Contoh : C = , D =
Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali
unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
Contoh : E =
7. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya
sama.
Contoh : F =
8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada
diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 = , I4 =
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j
sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .
Contoh : G =
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.
10. Matriks Mendatar
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .
Contoh :
11. Matriks Tegak
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh : =
12. Matriks Transpos ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama
matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=
elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
Sifat-sifat matriks transpos
1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
3. Operasi Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.
Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat
dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =
Maka A + B = =
A – B = =
Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks
1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)
2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)
3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)
2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA
adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap
unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi, jika A , maka: kA
Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.
Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalah matriks C
yang berordo m n.
A m p.B p n = C m n.
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.
Secara umum jika A = ordo matriks 2 3
B = ordo matriks 3 2
C = A . B
= ordo matriks 2 2
Dimana
Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
4. Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
Contoh : Jika A = maka det A =
= ( 1)(4) – (2)(-3)
= 4 +6
= 10
2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3
Matriks A =
Cara menentukan det A sebagai berikut :
Cara 1 : det A =
=
Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
det A =
- - - + + +
=
3). Invers Matriks Bujur Sangkar
Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.
Contoh : Misal A = dan B =
Maka BA = = = I
Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1
maka A-1A = I
Jika A = maka invers A (ditulis A-1)
dan dirumuskan
Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.
Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0.
Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang
determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.
. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks
1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan
Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut
Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan
D = =
Dx = =
Dy = =
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan dan
By RATNA SARI (((((X TKJ 2))))) :-P
1. Pengertian Matriks
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.
Jenis Kelamin
Kelas Putra Putri Jumlah
II Ak 1 28 15 43
II Ak 2 32 10 42
Jumlah 60 25 85
Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.
Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .
Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.
Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.
Contoh :
A =
Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis atau .
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.
2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.
Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B
Contoh :
A = dan B =
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu
Definisi:
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :
a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama
b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.
2. Macam-Macam Matriks
1. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A =
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
Contoh : A =
3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah
baris = jumlah kolom
Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom
4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis
dengan huruf O.
Contoh : =
5. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau
diatas diagonal utama semuanya 0 .
Contoh : C = , D =
Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali
unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.
Contoh : E =
7. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya
sama.
Contoh : F =
8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada
diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.
Contoh : I3 = , I4 =
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j
sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .
Contoh : G =
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.
10. Matriks Mendatar
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .
Contoh :
11. Matriks Tegak
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
Contoh : =
12. Matriks Transpos ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama
matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=
elemen baris ketiga matriks A.
Misal Matriks A =
Maka Transpos A adalah At =
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
Sifat-sifat matriks transpos
1) ( A + B )t = At + Bt
2) ( At )t = A
3) ( AB )t = Bt At
3. Operasi Matriks
1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.
Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat
dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh : Jika A = dan B =
Maka A + B = =
A – B = =
Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks
1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)
2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)
3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)
2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA
adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap
unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.
Jadi, jika A , maka: kA
Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.
Jika a dan b bilangan real, maka :
1) ( a + b )A = aA + bA
2) a ( A + B ) = aA + aB
3) a( bA ) = (ab)A
3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)
Matriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalah matriks C
yang berordo m n.
A m p.B p n = C m n.
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.
Secara umum jika A = ordo matriks 2 3
B = ordo matriks 3 2
C = A . B
= ordo matriks 2 2
Dimana
Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
4. Menentukan Determinan dan Invers
1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Matriks A =
Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal
samping disebut determinan matriks A.
Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bc
Contoh : Jika A = maka det A =
= ( 1)(4) – (2)(-3)
= 4 +6
= 10
2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3
Matriks A =
Cara menentukan det A sebagai berikut :
Cara 1 : det A =
=
Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus
det A =
- - - + + +
=
3). Invers Matriks Bujur Sangkar
Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.
Contoh : Misal A = dan B =
Maka BA = = = I
Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1
maka A-1A = I
Jika A = maka invers A (ditulis A-1)
dan dirumuskan
Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.
Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0.
Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang
determinannya = 0, dinamakan matriks Singular.
. Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks
1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan
Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut
Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan
D = =
Dx = =
Dy = =
Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan dan
By RATNA SARI (((((X TKJ 2))))) :-P
Ketik C spasi D.... Cuapeee Dueeeh...
Matematik lagii..matematik lagii....